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2010-Sep

고급 신호처리 관련된 수식들.

작성자: Porsche 조회 수: 22669

 이하에 나오는 수식 및 이야기들은
수업시간의 교수님 강의 필기 및 교재를 요약한 것입니다.
교재는 Julius S. Bendat, 2000,"Random Data", A Wiley-Interscience Publication 입니다.
그리고 수식들이 많은 관계로.... 피치못하게 고급으로 표현했습니다.


여러 수식들에 앞서 가장 기본이 되는 것이 평균값인데 이것은 다음과 같습니다.
 7d8ccf8af2f8d1b08941cc5b509aa9e5.jpg
여기서 E는 평균기대값, T는 측정시간이며  x는 입력신호입니다.
컴퓨터로 AD 되어 들어오는 모든 신호는 이산시간 데이터로 보게 됩니다.
이산신호에 대한 평균 기대값은 다음과 같이 쓸수 있습니다.
6b8d057a3aea04d9811febb8a4a39fc3.jpg


가장 중요한 것.
Fs는 샘플링 주파수, df는 주파수 간격, N은 측정 데이터 수입니다.
이것 3가지는 서로 종속되며 이것이 결정되면 T-측정시간, dt-시간간격도 자연스레 결정되게 됩니다.
Fs=N*df=1/dt
T=N*dt=1/df

이제 우리가 관심을 가지는 스펙트럼을 계산하기 위하여 바로 Fourier Series(F.S)이야기로 넘어가겠습니다.

먼저 스펙트럼이란 우리가 초중고에서 배웠던 x,y축을 가지는 2차원 그래프에서 x축이 주파수에 대하여, y축은 주파수에 의존하는 어떤 물리량을 나타낼때 그때 스펙트럼이란 말을 사용합니다.

Fourier Series의 가장 핵심은 어떤 주기신호라도 직교성을 만족하는 다른 어떤 함수의 무한조합을 통해 다른 기존 좌표에서 다른 좌표로 표현할 수 있다는 것입니다.
바로 주기성을 가지는 시간신호를 sin, cos 항의 조합을 통하여 주파수 영역의 신호로 변환할 수 있다는 것을 의미합니다.
먼저 Fourier Series는 연속함수에 대하여 정의되는 것인데
x(t)=x(t+T)를 만족할 때 - 주기성을 만족할때-
2eabf00e837741df19d8fda8cfdeb406.jpg


앞서 기술한 식은 주기함수를 만족할때의 이야기입니다. 그러면 x(t)가 비주기 함수일때는 어떻하느냐.
바로 Fourier Transform(F.T)을 하게 됩니다. 주기함수와 비주기함수의 차이에서 이 둘 함수간의 에너지가 달라질수 있지는 않는가에 대한 의문이 생기는데 이것은 Parseval의 정리로 해결됩니다. 즉 비주기 함수에 대하여 F.T을 취해도 문제 없음을 확인할 있습니다.

Parseval의 정리에 의해

Fourier Series
7b11eaadb8eaf8576299c6a15385d26d.jpg 

Fourier Transform
7e23aece4e39acbc409fd6a97de9cdfd.jpg 
여기서 X(f)는 F.T된 신호입니다.


이제 스펙트럼 관련 계산시 가장 중요한 Power Spectral Density Function(PSD)에 관하여 언급하겠습니다.
위의 FT를 통하여 스펙트럼을 계산할 수 있는데...측정된 데이터의 df에 따라 그 물리량이 조금더 크게 나타날수도, 적게 나타날 수 도있습니다.
이를 상쇄시켜주기 위하여 PSD에서는 df를 나누어 주파수별 mean square의 기여정도를 나타내게 하였습니다.

여기서 아주 중요한 표하나를 제시합니다.
e3306412c903d74ffb5f622b6086300d.jpg 

게시판의 어떤 글에서 제가 언급한 오토스펙트럼이란 것이 바로 여기에서 나타나고 있습니다.
바로 F.S에서 절대치의 제곱 형태로 표현되고 있습니다. Ck는 복소수로써 크기와 위상값을 지니는데 제곱을 해버리면서 위상값이 사라져버리는 것입니다.

여기까지는 하나의 신호만 받았을때 그 신호를 어떻게 스펙트럼으로 나타낼 것인가를 이야기 하였습니다.
편의를 위해 2개 신호의 상관관계를 표현하도록 글을 쓰겠습니다. 지금까지 하나의 입력신호 x(t)만 생각하였는데, 이제 y(t)라는 신호도 있다고 봅시다.
먼저 PSD와 CSD(Cross Spectral Density)를 나타냅니다.
PSD
 Sxx.jpg 
CSD
Sxy.jpg

여기서 위첨자*는 켤레복소수를 나타냅니다. 그리고 Engineering PSD는 Gxx(f)로 표현하는데 2*Sxx(f)로 표현할 수 있습니다.

이제 제가 이 글에서 가장 하고 싶은 말, 전달함수 - H(f)를 표현하려고 합니다.
구조물의 전달함수는 Unique 합니다. 이 전달함수를 스펙트럼으로 표현하면 주파수전달함수 (Frequency Response Function : FRF), 시간상으로 표현하면 충격응답함수(Impulse Response function : IRF), 계단응답함수?(Step Response Function:SRF)등으로 나타낼 수 있는 것입니다. 결국 동일한 구조물의 전달함수를 어떤 도메인 상으로 표현했느냐하는 차이일 뿐입니다. 여기서는 FRF를 논하겠습니다.
전달함수H(f)는 입력 X(f)에 대한 구조물 특성이 반영된 Y(f)의 비를 나타냅니다.

H(f) = Y(f) / X(f)

따라서 전달함수를 알고 있으면 어떤 입력 X가 들어와도구조물의 출력  Y를 알게 되는 것입니다.
즉 H가 바로 구조물의 특성입니다. 단순히 Y만 측정하여 Y만의 데이터를 가지면 구조물의 특성이 반영된 X에 dependent한 단순한 특성일 뿐 구조물만의 고유 특성을 내가 확보했다고 말하기는 힘듭니다. 바로 위의 표에서 언급한 Autospectrum 또는 PSD를 가지는 것과 다를바 없는 것이죠.
구조물의 입출력 상관관계 - 즉, 구조물의 전달함수를 정확히 알려면 입력신호와, 출력신호를 둘다 동시에 측정하여 계산을 하여야먄 구조물의 특성인 전달함수를 구할수 있게 됩니다. 제가 이 사이트에서 계속 입출력과의 관계를 언급했는데, 바로 이런 이유에서 그런 것입니다.

이제 전달함수를 어떻게 구하는지 쓰겠습니다.
실제 계측시 가장 많이 쓰이는 H1전달함수 계산법을 쓰겟습니다.
1abcbd4575ecf0310419820aef28f3c9.jpg
H1 전달함수는 입력신호에는 노이즈가 들어오지 않으며 출력신호에만 노이즈가 들어온다는 가정하의 전달함수 계산법입니다.
이것은 사실 Impact Modal Test시 가장 유효한 방법이나, 일반적인 구조물 전달함수 실험에도 가장 많이 쓰이는 방법이기도 합니다.
따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
Y=V+N
V=Hx

Gnn(f)=E[N*N] = E[ (Y*-H*X*)(Y-HX) ] = E[Y*Y] - HE[Y*X] - H*E[X*Y] + H*HE[X*X] = Gyy - HGyx - H*Gxy + H*HGxx

 H(f)를 구하기 위하여 Gnn을 최소화시킵니다. 즉 H의 실수에 대하여 Gnn을 한번 편미분, H의 허수에 대하여 Gnn을 다시한번 편미분하여 계산하면 합니다.
아~ 타이핑하기가 복잡해서 결과만 씁니다. 편미분 후 정리하면 전달함수는 다음과 같습니다.

H(f) = H1(f) = Gxy(f)/Gxx(f)

자기자신의 입력신호 PSD에 대한 상호신호 PSD의 비가 바로 H1 전달함수가 됩니다.
이때 Gxx 와 Gxy는 각각 복소수이기 때문에 신호의 크기와 위상을 가지고 있습니다.



마지막으로 요약해봅니다.
비주기 신호일 때
1. PSD는 |X(f)|2/T로 나타낼 수 있다. PSD의 경우 신호의 크기는 알수 있으나 위상 신호는 존재하지 않는다.
2. 구조물의 고유한 특성을 나타내는 전달함수를 스펙트럼으로 나타내면 주파수응답함수(Frequency Response Function:FRF)로 표현이 가능하며 가장 널리쓰이는 H1 전달함수 계산법은 다음과 같다.
H(f) = H1(f) = Gxy(f)/Gxx(f)
전달함수 계산을 위해서는 반드시 입력신호와 출력신호를 알아야만 측정이 가능한다.
이때 전달함수는 크기와 위상신호를 가지고 있다.
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[SB]쉼플플러그

2010.09.29 11:59
ㅇㅁㅇ;;;  예대생인 저는 너무나- 먼나라 글자들이네요ㄷㄷㄷ
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위버

2010.09.29 12:17
아..저 수식들 오래간만에 보네요..^^;
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토미™

2010.09.29 12:23
"구조물의 입출력 상관관계 - 즉, 구조물의 전달함수를 정확히 알려면 입력신호와, 출력신호를 둘다 동시에 측정하여 계산을 하여야먄 구조물의 특성인 전달함수를 구할수 있게 됩니다." >>  맞습니다. 기준 신호가 없다면 입력신호와 출력신호를 다 같이 측정해야 하지요. 그런데!!!


Sweep Signal, Pink Noise, White Noise와 같은 테스트에 사용이 되는 신호는 이미 그 규격이 정해져 있습니다. 즉 A 프로그램(Signal Generator)에서 발생하는 Sweep Signal, Pink Noise, White Noise나 B 프로그램(Signal Generator)에서 발생하는 Sweep Signal, Pink Noise, White Noise나 모두 동일한 신호가 발생됩니다. 그리고 이미 만들어진 파일 형태(WAV,FLAC등의 파일)의 테스트 신호 역시 재생 프로그램(윈앰프나 푸바같은)에서 재생을 하면 동일한 신호가 재생됩니다. 만일 다르다면 프로그램을 잘못(규격대로 만들지 않은) 만든 것이지요.

그리고 이러한 기준 신호는 제가 임의로 만든 것이 아니라 국제적으로 협의가 된 표준화된 신호를 저는 그냥 사용만 하는 것 입니다.

말씀하시는데로라면 Sweep Signal, Pink Noise, White Noise 신호가 어떠한지를 제가 테스트 해야 한다는 의미로 이해가 되는데, 이건 제가 할 필요가 없는 것이지요.

우선 Sweep Signal, Pink Noise, White Noise 신호가 어떠한 신호인지 그리고 그러한 신호를 사용하여 측정을 하는 방법에 대하여 검색을 해 보시는 것이 우선되면 좋을 것 같습니다. 

일반적인 대부분의 측정 프로그램에서는 주파수응답특성 및 기타 신호를 측정할 때에 테스트 신호는 이미 만들어진 기준이 있기 때문에 그 기준과 비교를 하여 얼마나 왜곡이 되는가? 만을 측정합니다. 그리고 말씀하신 부분은 그러한 기준이 없는 신호를 사용하여 측정을 하는 경우에만 필요한 부분입니다.

참고로 어떤 특정한 측정 프로그램(프로그램의 이름이 가물가물하네요...)은 Sweep Signal, Pink Noise, White Noise와 같은 테스트 신호 뿐만이 아니라 일반 음악만으로도 주파수 응답특성의 측정이 가능한데 그러한 프로그램에서는 말씀하신대로 입력신호(재생되는 음악신호)와 결과(측정되는)의 차이를 모두 계산해서 분석을 하는 방법도 제공을 합니다.
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Porsche

2010.09.29 12:58

왠지 느낌상, 토미님께서 마음이 상하신 것 같은 기분이 들어서 죄송합니다.
먼저 토미님의 기분 상하게 하려는 의도는 전혀 아니니 오해가 없으셨으면 좋겠습니다.
다른 댓글에서도 언급했지만, 골.귀 사이트가 더욱 번성하길 바라는 마음에, 좀 더 많은 사람들이 신호처리 관련되어서 많은 정보도 얻을겸, 아~ 이렇게 계산되어진 결과구나하는 객관적 신뢰도를 더 높였으면 하는 바램에서 쓰는 글입니다.


아직 저는 공부하는 학생이다보니, 아직은 국제적으로 협의된 표준 신호로서의 Sweep signal, 화이트 노이즈, 핑크 노이즈 등을 접하진 못했습니다.
저희 실험실에서 보유하고 있는 B&K Pulse 장비나 LMS의  SCADaS Mobile, 그리고 HP의 35665A 모두 신호측정을 위해 보유하고 있는 고급장비들입니다.
하지만 여기서도 Sweep signal이나 pink, white 노이즈 모드 제가 임의의로 변경이 가능합니다. 전압, sweep 속도, DA freq. 기타등등.
제가 아는 것은 그저 제가 직접 측정해보고, 공부한 것이 다였기 때문에 제가 아는 선 내에서 질문을 드려보는 것이었습니다.
절대 토미님을 못 믿겠다는 뜻은 아닙니다. - 오해마시길.

어차피 지금 계측에 사용되는 기준 신호 프로그램은 전부 동일하게 사용하시는 것으로 알고 있기 때문에 당연히 상대적인 비교 가능하다고 생각하고 있었습니다. 다만 제가 국제적 협의가 된 표준화된 신호라는 것을 몰랐네요.
전 단지, 제가 사용하던 장비는 그런 표준화된 신호를 따로 규명하고 있지 않고, 제 임의로 변경이 가능했기 때문에 입력신호는 어떻게 되는건가 라는 의문을 가졌던 것입니다.

그리고 일반적으로 실험을 통해 신호를 받아 전달함수를 구하려고 할때는, 아무리 표준화된 신호일 지라도 반드시 입력신호를 받습니다.
신뢰도를 높이기 위한 것입니다. 그리고 평균데이터를 취할 것인데, 평균을 취할때 Coherence를 받고 신호의 재현성을 검증, 그리고 입력신호의 PSD를 그려서 피크점 대비 3dB 내외의 신호 입력을 통해 충분한 가진을 하였다라고 하면 그 어느 누구도 FRF 측정에 대하여 의심을 품지 않습니다.

다시 말하지만, 토미님 말씀에 딴지를 거는 것이 아니구요...
그 어떤 누가 봐도 나는 신뢰성 있는 전달함수를 구했다라고 어필할때는, FRF 그래프, Coherence 그래프, 입력신호에 대한 PSD 그래프가 있는 것이 좋다는 것입니다.
단지 저의 의견일 뿐입니다.
그리고 토미님의 말씀을 통해서 지금까지 여기서 표현된 그래프는 PSD 또는 Power Spectrum으로 해석이 되는군요.
이제야 Frequency response가 어떤 말인지 이해가 가는군요.
일반적으로 이야기하는 Frequency response는 Power Spectrum으로 해석하면 되겠군요.

가르쳐 주셔서 감사합니다. ^^*

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토미™

2010.09.29 13:28
딴지라고 생각하지 않습니다. ^___^

몰랐던 부분을 솔직하게 인정을 하시니까 이런 경우는 참 환영받을만한 일이지요.
본인이 틀린 것을 알면서도 인정을 하지 않고 이런 저런 변명만 늘어 놓는다면 딴지이겠지만 Porshe님은 인정을 하시므로 딴지는 아니지요. 잠깐의 오해 정도 되겠네요.


참고로 Sweep신호의 경우 재생시간,속도 등은 프로그램에서 변화가 가능하지만 어떠한 측정 프로그램에서도 Sweep신호 자체의 주파수별 신호의 크기를 상대적으로 다르게 변화시킬 수는 없습니다. 전체적인 볼륨이야 앰프의 볼륨을 조정하면 조정 가능하구요.

마찬가지로 FFT Size를 변화시킬 수는 있으나 어떤 프로그램에서도 신호의 특성 자체를 변화시킬 수는 없습니다. 만일 그게 가능하다면 결과 값이 이상하게 나오겠지요.

관련하여 재미있는(?) 공부를 하고 계신 듯 한데 열공해서 훌룡한 분이 되셨으면 합니다. ^^
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착안악마

2010.09.30 12:17
우선 오토스펙트럼이라고 하는 용어 자체가 생소한데, 파워 스펙트럼이라고 하니 쉽게 이해가 되네요.
오토스펙트럼이라.. 마니 생소한 용어인데.. 같은말로 파워스펙트럼이라고 되어있네요.

H 를 frequency response라고 통상 DSP 책에서 나옵니다. DSP책에 문제를 풀다보면 그렇게 나옵니다. 정확한 용어가 아닌지는 모르겠으나 frequency response 라고 하면 당연히 전달함수 라고 생각하는거죠. (통상적으로)

주파수 응답이라고 했을때 파워 스펙트럼이라고 해석하면 되는건가요? 제가 볼때는 그냥 위상을 표시하지 않았을 뿐이지, 파워스펙트럼은 아닌거 같은데...

시스템 특성을 볼 수 있는 전달함수로 봐도 무관할것 같은데... 거기서 거기지만 다 같은말인데, 저는 주파수 응답이라고 되어있어서 아~ 입력 대 출력으로 주파수 응답이 이렇게 나오는구나.. 시스템 특성이 어떻구나... 그렇게 이해했던거라..(시스템 특성이 어떻다고 하는거 자체가 전달함수 기능을 가지니..)

암튼 길고 긴 토론의 종결이 된(?)것 같네요.

p.s : 수학을 잘하지 못해서...ㅜㅜ 위에서 푸리에와 대충 알지만, 더 정확하게 나머지 부분은 쉽게 들어오지는 않네.. 휴~~ㅜㅜ
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#대인배_랄랄라

2010.09.29 13:58
황금귀 가입 후 물리학 책을 샀었는데요.. 포르쉐님을 글을 보려니까, 수학책도 사야 할 것 같아요...ㅠㅜ
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[SB]쉼플플러그

2010.09.29 15:17
전그냥 포기하고 편하게 살래요;;;;
profile

#대인배_랄랄라

2010.09.29 15:24
저도.. 책만 살 뿐.. 현실은 포기라는..ㅋ;;
profile

기계소년

2010.09.29 16:54
중딩에게는 너무나도 어려운 기호들 뿐이군요... ㄷㄷ
profile

[E-MU]준듸기

2010.09.29 23:04
@.@ 외계어다~~~~외~~~~계~~~~어~~~~

흑흑 중딩에게는 너무 ㅠㅠ
profile

Porsche

2010.09.30 08:21
저기에 적힌 수식들... 보기엔 저래도... 전부다 초중에서 배우는 4칙 연산일 뿐인데요... ㅎㅎㅎ
고교생 2학년만 되어도 다 아는 수식되요~ 힘내요, 화이팅!
profile

착안악마

2010.09.30 12:00
j 라는 용어는 공대만 쓰죠. 
그리고 고교때 수학 잘했지만, 공대와서 수학을 포기했음.(포기라기보다 힘들다는)

저게 그렇게 쉽게 이해되는게 아니라는게... 저는 전자과이지만, 수식이 뭔지는 알지만, 그 수식이 의미하는바를 모른다면 
수식은 그저 숫자일뿐이라는...

그리고 요즘 고등학교에서 복소수를 크기와 위상(각도)으로 표현하는거 없어진거 같던데... 제가 다닐때는 수2에서 배웠는데, 
profile

[바보당]프렘

2010.09.29 23:48
대부분 읽을수는 있겠는데,
정독하고 싶지는...ㅇㅅㅇ;;

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고급 신호처리 관련된 수식들. file

  • 등록일: 2010-09-29

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